Question

【題目】如圖，在三棱錐C﹣PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，點M是PC的中點，點N在線段AB上，且MN⊥AB．
（1）求AN的長；
（2）求銳二面角P﹣NC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，分別取AB，AC的中點O，Q，連接OP，OQ，

以O為原點，以OP為x軸，以OA為y軸，以OQ為z軸，

建立空間直角坐標系，

則由題意知：A（0，3，0），B（0，﹣3，0），

P（4，0，0），C（0，﹣3，4），

M（2，﹣ ，2），N（0，t，0）．

= ， =（0，6，0）．

∵ ⊥ ，∴ = =0，解得t=﹣ ，

∴AN=3﹣ = ．

（2）解：N ，∴ = ， =（2，0，2），

設平面MNC的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，即 ，則取 =（﹣3，8，3），

平面ANC的一個法向量為 =（1，0，0），

cos = = =﹣ ．

∴銳二面角P﹣NC﹣A的余弦值為 ．

【解析】（1）如圖，分別取AB，AC的中點O，Q，連接OP，OQ，以O為原點，以OP為x軸，以OA為y軸，以OQ為z軸，建立空間直角坐標系，設N（0，t，0）．由 ⊥ ，可得 =0，解得t，即可得出AN．（2）設平面MNC的一個法向量為 =（x，y，z），則 ，可得 ，平面ANC的一個法向量為 =（1，0，0），利用cos = 即可得出．
【考點精析】本題主要考查了棱錐的結構特征的相關知識點，需要掌握側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方才能正確解答此題．