Question

【題目】橢圓Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 焦距為2c，若直線y= 與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 則該橢圓的離心率等于 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖所示，
由直線y= 可知傾斜角α與斜率 有關系 =tanα，∴α=60°．
又橢圓Γ的一個交點滿足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， ∴ ，∴ ．
設|MF2|=m，|MF1|=n，則 ，解得 ．
∴該橢圓的離心率e= ．
故答案為 ．

由直線y= 可知斜率為 ，可得直線的傾斜角α=60°．又直線與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 可得 ，進而 ．
設|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、橢圓的定義及其邊角關系可得 ，解出a，c即可．