Question

已知以點C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．

(1)求證：△AOB的面積為定值；

(2)設直線2x＋y－4＝0與圓C交于點M、N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；

(3)在(2)的條件下，設P、Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C的動點，求|PB|＋|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

 

Answer 1

（1）見解析（2）(x－2)2＋(y－1)2＝5（3）2，坐標為

【解析】(1)證明　由題設知，圓C的方程為(x－t)2＋2＝t2＋，

化簡得x2－2tx＋y2－y＝0，

當y＝0時，x＝0或2t，則A(2t,0)；

當x＝0時，y＝0或，則B ，

∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4為定值．

(2)解　∵|OM|＝|ON|，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，

∴C、H、O三點共線，則直線OC的斜率

k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.

∴圓心為C(2,1)或C(－2，－1)，

∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5由于當圓方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝5時，直線2x＋y－4＝0到圓心的距離d＞r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去，

∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.

(3)解　點B(0,2)關于直線x＋y＋2＝0的對稱點B′(－4，－2)，則|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，

又B′到圓上點Q的最短距離為

|B′C|－r＝＝3－＝2.

所以|PB|＋|PQ|的最小值為2，直線B′C的方程為y＝x，則直線B′C與直線x＋y＋2＝0的交點P的坐標為.