Question

【題目】設是偶函數，且當時，

（1）當時，求的解析式；

（2）設函數在區間上的最大值為，試求的表達式；

（3）若方程有四個不同的實根，且它們成等差數列，試探求與滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）與滿足的條件為且，或且，或且.

【解析】

（1）設、，利用已知函數的解析式，即可求得結論；

（2）因為是偶函數，所以它在區間，上的最大值即為它在區間，上的最大值，分類討論，即可求得結論；

（3）設這四個根從小到大依次為，，，，則當方程在，上有四個實根時，由，且，得，，從而，且要求對恒成立，由此可得結論．

解：（1）當時，

同理，當時，，

所以，當時，的解析式為

（2）因為是偶函數，所以它在區間上的最大值即為它在區間上的最大值，

①當時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以

②當時，在與上單調遞增，在與上單調遞減，

所以此時只需比較與的大小．

（i）當時，，所以

（ii）當時，，

所以

③當時，在與上單調遞增，在上單調遞減，且，

所以.

綜上所述，．

（3）設這四個根從小到大依次為，，，．

①當方程在上有四個實根時，由，且，得，，

從而，且要求對恒成立．

（i）當時，在上單調遞減，所以對恒成立，

即適合題意．

（ii）當時，欲對恒成立，只要，

解得，故此時應滿足．

②當方程在上有兩個實根時，，且，，

所以必須滿足，且，，解得．

③當方程在上無實根時，，，

由，，解得，，

所以，

且由，解得．

綜上所述，與滿足的條件為且，或且，

或且．