Question

【題目】已知，函數，（是自然對數的底數）.

（Ⅰ）討論函數極值點的個數；

（Ⅱ）若，且命題“，”是假命題，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）

【解析】試題分析 ：（1），分，討論，當時，對，，當時，解得，在上是減函數，在上是增函數。所以，當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式在區間內有解。設 ，所以 ，設 ，則，且是增函數，所以 。所以分和k>1討論。

試題解析：（Ⅰ）因為，所以，

當時，對，，

所以在是減函數，此時函數不存在極值，

所以函數沒有極值點；

當時，，令，解得，

若，則，所以在上是減函數，

若，則，所以在上是增函數，

當時，取得極小值為，

函數有且僅有一個極小值點，

所以當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.

（Ⅱ）命題“，”是假命題，則“，”是真命題，即不等式在區間內有解.

若，則設 ，

所以 ，設 ，

則，且是增函數，所以

當時，，所以在上是增函數，

，即，所以在上是增函數，

所以，即在上恒成立.

當時，因為在是增函數，

因為， ，

所以在上存在唯一零點，

當時，，在上單調遞減，

從而，即，所以在上單調遞減，

所以當時，，即.

所以不等式在區間內有解

綜上所述，實數的取值范圍為.