Question

【題目】設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，且anSn+1﹣an+1Sn＝an+1﹣λan，對一切n∈N*都成立.

（1）當λ＝1時；

①求數列{an}的通項公式；

②若bn＝（n+1）an，求數列{bn}的前n項的和Tn；

（2）是否存在實數λ，使數列{an}是等差數列如果存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①an＝2n﹣1②Tn＝n2n（2）存在；λ＝0

【解析】

（1）化簡得到，根據累乘法計算得到Sn+1+1＝2an+1，得到數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列，得到答案，再利用錯位相減法計算得到答案.

（2）要使數列{an}是等差數列，必須有2a2＝a1+a3，解得λ＝0，λ＝0，計算得到an＝1，得到答案.

（1）①當λ＝1時，anSn+1﹣an+1Sn＝an+1﹣an，則anSn+1+an＝an+1Sn+an+1，

即（Sn+1+1）an＝（Sn+1）an+1.

∵數列{an}的各項均為正數，∴.

∴，

化簡，得Sn+1+1＝2an+1，①，∴當n≥2時，Sn+1＝2an，②

②﹣①，得an+1＝2an，

∵當n＝1時，a2＝2，∴n＝1時上式也成立，

∴數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列，即an＝2n﹣1.

②由①知，bn＝（n+1）an＝（n+1）2n﹣1.

Tn＝b1+b2+…+bn＝21+321+…+（n+1）2n﹣1，

2Tn＝22+322+…+n2n﹣1+（n+1）2n，

兩式相減，可得﹣Tn＝2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）2n＝2（n+1）2n＝﹣n2n.

∴Tn＝n2n.

（2）由題意，令n＝1，得a2＝λ+1；令n＝2，得a3＝（λ+1）2.

要使數列{an}是等差數列，必須有2a2＝a1+a3，解得λ＝0.

當λ＝0時，Sn+1an＝（Sn+1）an+1，且a2＝a1＝1.

當n≥2時，Sn+1（Sn﹣Sn﹣1）＝（Sn+1）（Sn+1﹣Sn），

整理，得Sn2+Sn＝Sn+1Sn﹣1+Sn+1，即，

從而，

化簡，得Sn+1＝Sn+1，即an+1＝1.

綜上所述，可得an＝1，n∈N*.

∴λ＝0時，數列{an}是等差數列.