Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若函數是R上的增函數，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）討論函數在上的零點個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）當時，函數有且只有一個零點，當時，函數有兩個零點.

【解析】

（Ⅰ）根據題意可得，求出導函數，由題意可得恒成立，即恒成立，根據一元二次不等式式恒成立分類討論的取值范圍即可求解.

（Ⅱ）函數，令，求導得，分類討論：當時，判斷函數的單調遞增，由，從而可得函數的零點個數；當時，設，求導可得在上遞增，由，討論的正負，從而可得的單調性，進而可得到函數在的零點個數.

（Ⅰ），求導得

因為函數是上的增函數，所以恒成立.

當時，滿足題意.

當時，由且，解得.

綜上，實數的取值范圍是.

（Ⅱ）函數，

令

求導得

（1）當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，

又，所以在上有且只有一個零點.

（2）當時，設，

因為恒成立，所以在上遞增.

又

①當，即時，恒成立，

所以在上單調遞增，又，

所以在上有且只有一個零點.

②當，即時，，

所以存在唯一實數使得.

在上單調遞減，在上單調遞增.

又因為，所以

當，即時，有且只有一個零點

當，即時，有兩個零點.

綜上：當時，函數有且只有一個零點，當時，函數有兩個零點.