【題目】已知函數
.
（1）求函數
的極值；
（2）若
，試討論關于
的方程
的解的個數，并說明理由.
【答案】（1）當
時，函數
無極值，當
時，函數
有極小值
，無極大值；
（2）方程
有唯一解.
【解析】
試題分析：（1）求出函數
定義域，求導，令
.利用導函數的符號，判斷函數的單調性，求
出函數的極值；（2）令
，對其求導，分為
和
兩種情形，根據導數與
的關系，判斷函數的單調性，根據其大致圖象得到其與
軸的交點分數，故而得到方程解的個數.
試題解析：（1）依題意得，
，
，
當
時，
，故函數
在
上單調遞增，
無極值；
當
時，
，
令
，得
，函數
單調遞減，
令
，得
，函數
單調遞增，
故函數
有極小值
.
綜上所述，當時，函數無極值；當時，函數有極小值，無極大值.
（2）令，
，問題等價于求
函數的零點個數.
易得
.
①若，則
，函數
為減函數，
注意到
，
，所以
有唯一零點；
②若，則當
或
時，
，當
時，
，
所以函數
在
和
上單調遞減，在
上單調遞增，
注意到
，
，所以
有唯一零點.
綜上，若
，函數
有唯一零點，即方程有唯一解.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
滿足
（
； 
， 
），稱數列
為
數列，記
為其前
項和.
（Ⅰ）寫出一個滿足
，且
的
數列
；
（Ⅱ）若
， 
，證明：若
數列
是遞增數列，則
；反之，若
，則
數列
是遞增數列；
（Ⅲ）對任意給定的整數
（
），是否存在首項為0的
數列
，使得
？如果存在，寫出一個滿足條件的
數列
；如果不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】劉徽是我國魏晉時期著名的數學家，他編著的《海島算經》中有一問題：“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高幾何?” 意思是：為了測量海島高度，立了兩根表，高均為5步，前后相距1000步，令后表與前表在同一直線上，從前表退行123步，人恰觀測到島峰，從后表退行127步，也恰觀測到島峰，則島峰的高度為（ ）（注：3丈=5步，1里=300步）
A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某科研小組研究發現：一棵水蜜桃樹的產量
（單位：百千克）與肥料費用
（單位：百元）滿足如下關系：
，且投入的肥料費用不超過5百元.此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費等）
百元.已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克（即16百元/百千克），且市場需求始終供不應求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為
（單位：百元）.
（1）求利潤函數的函數關系式，并寫出定義域；
（2）當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列正確命題有__________．
①“
”是“
”的充分不必要條件
②如果命題“
”為假命題，則
中至多有一個為真命題
③設
，若
，則
的最小值為
④函數
在
上存在
，使
，則a的取值范圍
或
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
相鄰兩對稱軸間的距離為
，若將
的圖像先向左平移
個單位，再向下平移1個單位，所得的函數
為奇函數.
（1）求的解析式，并求的對稱中心；
（2）若關于
的方程
在區間
上有兩個不相等的實根，求實數
的取值范圍.
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