Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底而為菱形，且菱形所在的平面與所在的平面相互垂直，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求四棱錐的最長側棱的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）在菱形中，，平面，平面，由此可證.

（2）取中點，連結，，由已知易得：是正三角形，，進一步可證平面，由勾股定理可求出側棱，，，的長度，得到最長的是，或可先判斷CF最長，求解出長度即可.

（1）在菱形中，，平面，平面.

∴平面.

（2）方法一：取中點，連結，，

由已知易得：是正三角形，∴.

又∴平面平面且交線為，∴平面，

又平面，∴，

又∵，，

∴平面，

又，平面，∴，，

在菱形中，，，，

，.

在中，.

在中，.

在中，，

∴.

顯然在側棱，，，中最長的是.

∴四棱錐的最長側棱的長為.

方法二：取中點，連結，，

由已知易得：是正三角形，∴，

又∵平面平面且交線為，∴平面，

又平面，∴，

又∵，，∴平面.

又，平面∴，.

在菱形中，，，∴最長.

在中，.

∴四棱錐的最長側棱的長為.