Question

（2012•湖北）設a，b，c，x，y，z是正數，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，則

a+b+c

x+y+z

=（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：根據所給條件，利用柯西不等式求解，利用等號成立的條件即可．

解答：解：由柯西不等式得，（a²+b²+c²）（

1

4

x²+

1

4

y²+

1

4

z²）≥（

1

2

ax+

1

2

by+

1

2

cz）²，
當且僅當

a

1 2 x

=

b

1 2 y

=

c

1 2 z

時等號成立
∵a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，
∴等號成立
∴

a

1 2 x

=

b

1 2 y

=

c

1 2 z

∴

a+b+c

x+y+z

=

1

2

故選C．

點評：柯西不等式的特點：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當欲證不等式的一邊視為“積和結構”或“平方和結構”，再結合不等式另一邊的結構特點去嘗試構造．