Question

(20) （本小題滿分12分）

設函數f(x)=tx²+2t²x+t-1(x∈R,t>0).

(I)求f (x)的最小值h(t);

(II)若h(t)<-2t+m對t∈(0,2)恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

h(t)=-t³+t-1.,

解析:

解：（I）∵   （），

∴當x=-t時，f(x)取最小值f(-t)=-t²+t-1,

即h(t)=-t³+t-1. m>1

(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t³+3t-1-m,

由g’(t)=-3t²+3=0得t=1,t=-1（不合題意，舍去）.

當t變化時g’(t)、g(t)的變化情況如下表：

T	(0,1)	1	(1,2)
g’(t)	+	0	-
g(t)	遞增	極大值1-m	遞減

∴g(t)在（0，2）內有最大值g(1)=1-m

h(t)<-2t+m在（0，2）內恒成立等價于g(t)<0在（0，2）內恒成立，

即等價于1-m<0

所以m的取值范圍為m>1