Question

（理科）某中學號召學生在2010年春節期間至少參加一次社會公益活動（下面簡稱為“活動”）．該校合唱團共有100名學生，他們參加活動的次數統計如圖所示．
（Ⅰ）求合唱團學生參加活動的人均次數；
（Ⅱ）從合唱團中任選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率．

（文科）先后拋擲一枚骰子兩次，得到點數m，n，確定函數f（x）=x²+mx+n²，設函數f（x）有零點為事件A．
（Ⅰ）求事件A的概率P（A）；
（Ⅱ）設函數g（x）=x²+12P（A）x-4的定義域為[-5，5]，記“當x₀∈[-5，5]時，則g（x₀）≥0”為事件B，求事件B的概率P（B）．

Answer 1

分析：（理科）先由統計圖得出參加活動1次、2次、3次的學生數（Ⅰ）由參加活動1次、2次、3次的學生數可以算得參加活動的人均次數，（Ⅱ）參加活動次數恰好相等分為都是1次、都是2次、都是3次，三種情況，每一種都要考慮到．
（文科）（Ⅰ）先由先后拋擲一枚骰子兩次，得到點數m，n，知基本事件空間中基本事件總數，又有事件A所包含的基本事件應滿足條件可知事件A的個數，（Ⅱ）事件A的概率P（A）已知，可以求得g（x₀）≥0成立的x₀的范圍

解答：（理科）解：由題圖知，參加活動1次、2次、3次的學生數分別為10、50、40．
（Ⅰ）該合唱團學生參加活動的人均次數

1×10+2×50+3×40

100

=2.3．（4分）
（Ⅱ）從合唱團中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概p₀=

C 2 10 + C 2 50 + C 2 40

C 2 100

=

41

99

．（8分）
（文科）解：（Ⅰ）由題意知基本事件空間中基本事件總數為36，事件A所包含的基本事件應滿足條件：m²-4n²≥0，即m≥2n，它們分別是：m=2，n=1；m=3，n=1；m=4，n=1，2；m=5，n=1，2；m=6，n=1，2，3，
共包含9個基本事件，
所以P(A)=

9

36

=

1

4

（6分）
（Ⅱ）當x₀∈[-5，5]時，g（x₀）≥0，即x₀²+3x₀-4≥0，其解集為[-5，-4]∪[1，5]
這是一個幾何概型，基本事件空間的大小是區間[-5，5]的長度為10，事件B包含的基本事件的大小是區間[-5，-4]和[1，5]的長度之和為5
所以，P(A)=

5

10

=

1

2

（12分）

點評：幾何概型與古典概型是最為接近的一種概率模型，二者的共同點是基本事件都是等可能的，不同點是基本事件的個數一個是無限的，一個是有限的．基本事件可以抽象為點，對于幾何概型，這些點盡管是無限的，但它們所占據的區域卻是有限的．