Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，過作軸的垂線交橢圓于點（點在軸上方），斜率為的直線交橢圓于兩點，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.

（1）設橢圓的離心率為，當點為橢圓的右頂點時，的坐標為，求的值.

（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析

【解析】

（1）寫出，根據，斜率乘積為-1，建立等量關系求解離心率；

（2）寫出直線AB的方程，根據韋達定理求出點B的坐標，計算出弦長，根據垂直關系同理可得，利用等式即可得解.

（1）由題可得，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.

點為橢圓的右頂點時，的坐標為，

即，

，

化簡得：，

即，解得或（舍去），

所以；

（2）橢圓的方程為，

由（1）可得，

聯立得：，

設B的橫坐標，根據韋達定理，

即，，

所以，

同理可得

若存在使得成立，

則，

化簡得：，，此方程無解，

所以不存在使得成立.