【題目】如圖，矩形
中，
，
為
的中點，現將
與
折起，使得平面
及平面
都與平面
垂直.
（1）求證：
平面；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）分別取
的中點
，由線面垂直性質定理可得
，又三角形
和
全等，所以
，四邊形
為平行四邊形，根據線面平行的判定定理，即得證；
（2）以
為原點，
，
為
，
正半軸，過作平面
的垂線為
軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出二面角
的正弦值．
（1）如圖所示：
分別取
，
的中點
，
，連結
，
，
，
則
，
，
平面與平面
都與平面垂直，
平面，
平面，
由線面垂直的性質定理得，
，四邊形是平行四邊形，
，
平面，
平面．
（2）如圖，以為原點，，為，正半軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，則
，
，平面
的法向量
，
設平面
的法向量
，
則
，取
，得
．
設二面角的平面角為
，由圖知為鈍角，
．
∴二面角的余弦值為
，則正弦值為．
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【題目】已知圓
，直線
的方程為
，點
是直線上一動點，過點作圓的切線
、
，切點為
、
.
(1)當的橫坐標為
時，求
的大小；
(2)求四邊形
面積的最小值；
(3)求證：經過、、
三點的圓
必過定點，并求出所有定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法中正確的序號是____________（寫出所有正確命題的序號）
（1）“
為實數”是“為有理數”的充分不必要條件；
（2）“
”是“
”的充要條件
（3）“
”是“
”的必要不充分條件；
（4）“
，
”是“
”的充分不必要條件；
（5）
的三個內角為
.“
”是“
”的充要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
經過點
，且離心率為
．
（1）設過點
的直線與橢圓
相交于
、
兩點，若
的中點恰好為點
，求該直線的方程；
（2）過右焦點
的直線
（與
軸不重合）與橢圓交于
兩點，線段
的垂直平分線交
軸于點
，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為評估設備
生產某種零件的性能，從設備生產該零件的流水線上隨機抽取100個零件為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：
經計算，樣本的平均值
，標準差
，以頻率值作為概率的估計值.
（I）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為
，并根據以下不等式進行判定（
表示相應事件的概率）：
①
；
②
；
③
.
判定規則為：若同時滿足上述三個式子，則設備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為了.試判斷設備
的性能等級.
（Ⅱ）將直徑尺寸在
之外的零件認定為是“次品”.
①從設備的生產流水線上隨機抽取2個零件，求其中次品個數
的數學期望
；
②從樣本中隨意抽取2個零件，求其中次品個數
的數學期望
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），在以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
（
且
）.
（I）求直線的極坐標方程及曲線的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知
是直線上的一點，
是曲線上的一點， 
，
，若
的最大值為2，求
的值.
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