Question

拋物線的方程是y²=2x，有一個半徑為1的圓，圓心在x軸上運動問這個圓運動到什么位置時，圓與拋物線在交點處的切線互相垂直？（注：設P（x₀，y₀）是拋物線y²=2px上一點，則拋物線在P點處的切線斜率是

P

y0

）．

Answer 1

分析：設出圓的方程，再設圓與拋物線的一個交點為P進而可求得在P點圓半徑的斜率和在P點拋物線的切線斜率的表達式，根據在P點拋物線的切線與圓的切線垂直，必須且只須圓的半徑與拋物線在P點相切進而建立等式，把P點代入拋物線方程和橢圓方程，聯立方程組可求得k，則圓的方程可得．

解答：解：設圓的方程為（x-k）²+y²=1
再設圓與拋物線的一個交點為P（x₀，y₀）
在P點圓半徑的斜率=

y0

x0-k

．
在P點拋物線的切線斜率=

1

y0

在P點拋物線的切線與圓的切線垂直，必須且只須圓的半徑與拋物線在P點相切，
∴

1

y0

=

y0

x0-k

．（1）
因P（x₀，y₀）是圓與拋物線的交點，
∴y₀²=2x₀．（2）
（x₀-k）²+y₀²=1．（3）
由（1）、（2）式消去y₀，得x₀=-k，
將（2）代入（3），得（x₀-k）²+2x₀-1=0，
將x₀=-k代入，得4k²-2k-1=0，
∴k=

1± 5

4

．
由于拋物線在y軸的右方，所以k=-x₀≤0
故根號前應取負號，即k=

1- 5

4

．故所求圓的方程為(x-

1- 5

4

)2+y2=1．
故圓心是（

1- 5

4

，0）時圓與拋物線在交點處的切線互相垂直

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．解此類題應充分發揮判別式和韋達定理在解題中的作用．靈活應用數形結合的思想、函數思想、等價轉化思想、分類討論思想解題．