Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y=2x²上的兩點，直線l是AB的垂直平分線．
（理）當直線l的斜率為

1

2

時，則直線l在y軸上截距的取值范圍是______
（文）當且僅當x₁+x₂取______值時，直線l過拋物線的焦點F．

Answer 1

當直線l的斜率為

1

2

時，則直線AB的斜率為-2
設直線l的方程為 y=

1

2

x+b，AB的方程為y=-2x+c，c＞0
把AB的方程 y=-2x+c代入拋物線y=2x²化簡可得 2x²+2x-c=0，
∴x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-2（x₁+x₂）+2c=2+2c
故線段AB的中點 M（-

1

2

，1+c ），由題意知，點 M（-

1

2

，1+c ）在直線l上，
∴1+c=

1

2

（-

1

2

）+b，∴c=b-

5

4

＞0，
∴b＞

5

4

，
故直線l在y軸上截距的取值范圍是 (

5

4

，+∞)．
（理）∵拋物線y=2x²，即x2=

y

2

，∴p=

1

4

，
∴焦點為F(0，

1

8

)
（1）直線l的斜率不存在時，顯然有x₁+x₂=0
（2）直線l的斜率存在時，設為k，截距為b即直線l：y=kx+b
由已知得：

y1+y2 2 =k• x1+x2 2 +b y1-y2 x1-x2 =- 1 k

?

2x 21 + 2x 22 2 =k• x1+x2 2 +b 2x 21 - 2x 22 x1-x2 =- 1 k

?

x 21 + x 22 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

?

x

21

+

x

22

=-

1

4

+b≥0?b≥

1

4

即l的斜率存在時，不可能經過焦點F(0，

1

8

)
所以當且僅當x₁+x₂=0時，直線l經過拋物線的焦點F
故答案為(

5

4

，+∞)，0