Question

已知4個命題：
①若等差數列{a_n}的前n項和為S_n則三點（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

），共線；
②命題：“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
③若函數f（x）=x-

1

x

+k在（0，1）沒有零點，則k的取值范圍是k≥2，
④f（x）是定義在R上的奇函數，f′（x）＞0，且f（2）=

1

2

，則xf（x）＜1的解集為（-2，2）．
其中正確的是

 

．

Answer 1

分析：利用三點連線的斜率關系判定①的正誤；
直接寫出命題的否命題即可判定②的正誤；
利用函數的單調性，零點存在定理判定③的正誤；
通過函數的導數，以及函數的性質，求出不等式的解集，判定④的正誤，即可得到結論．

解答：解：①

S10

10

=

a1+a10

2

，

S100

100

=

a1+a100

2

，

S110

110

=

a1+a110

2

，設等差數列的公差為d，
∴

S100 100 - S10 10

100-10

=

a110-a10

2×90

=

d

2

，

S110 110 - S100 100

110-100

=

a110-a100 2

10

=

d

2

，
即 前兩個點連線的斜率等于后兩個點連線的斜率，故三點共線，故①正確．
②根據命題的否定的定義，“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；是正確的，故②正確．
③函數f（x）=x-

1

x

+k在（0，1）沒有零點，故f′（x）=1+

1

x2

＞0，所以函數在（0，1）內是增函數，x-

1

x

＜0，當k≥2時，函數有零點，③不正確．
④f（x）是定義在R上的奇函數，f′（x）＞0，且f（2）=

1

2

，所以x＞0時，函數是恒為正值，f（0）=0，x＜0時函數為負值，2f（2）=1，則xf（x）＜1的解集為（-2，2）．正確．
故答案為：①②④．

點評：本題是綜合題，考查三點共線，命題的否定，零點，導數與不等式的知識，考查知識的靈活運應，是中檔題．