Question

已知曲線C上任意一點到直線x=

3 2

2

的距離與它到點(

2

，0)的距離之比是

6

2

．   
（I）求曲線C的方程；
（II）設B為曲線C與y軸負半軸的交點，問：是否存在方向向量為

m

=(1，k)(k≠0)的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

與

BN

夾角為60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，欲曲線C的方程，設P（x，y）為曲線C上任意一點，只須求出x，y之間的關系式即可，根據點到點的距離與到直線的距離的比值，可得點的坐標滿足的關系式，化簡即得；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在方向向量為

m

=(1，k)(k≠0)的直線l，再設所求直線l：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得m值．若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y）為曲線C上任意一點，依題意

(x- 2 )2+y2

|x- 3 2 2 |

=

6

3

（2分）
化簡：

x2

3

+y2=1，
∴曲線C為橢圓，其方程為

x2

3

+y2=1（4分）
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m，
由 

y=kx+m x2+3y2=3

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0（6分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點G（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

，y0=kx0+m=

m

1+3k2

，

|MN|= 1+k2 |x1-x2|= 1+k2 (- 6km 1+3k2 )2-4• 3m2-3 1+3k2 = 1+k2 1+3k2 12(3k2-m2+1)

=

1+k2

1+3k2

12(3k2+1-m2)

…（ 1）
依題意：|

BM

|=|

BN

|，

BM

與

BN

夾角為60°，
∴△BMN為等邊三角形，
∴k_BG•k=-1，即

m 1+3k2 +1

- 3km 1+3k2

=-

1

k

⇒m=

1+3k2

2

，…（2）
由（2）代入（1）：|MN|=3

1+k2 1+3k2

1-k2

1+3k2

=3

1+k2

1-k2

，
又∵△BMN為等邊三角形，∴B到MN距離d=

3

2

|MN|，
即

3

2

1+k2

=

3 3

2

1+k2

1-k2

3

2

1+k2

=

3 3

2

1+k2

1-k2

|MN|=3

1+k2 1+3k2

1-k2

1+3k2

=3

1+k2

1-k2

解得：k2=

2

3

1

3

，m=1，
經檢驗k=±

3

3

，m=1使方程有解，所以直線l的方程為：y=±

3

3

+1（12分）

點評：本題主要考查了拋物線的定義的靈活應用，解決直線與圓錐曲線的相交的有關問題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯立，得到關于應該未知數的方程，利用韋達定理來解決．