Question

【題目】已知定義在[1，+∞）上的函數f（x）= 給出下列結論： ①函數f（x）的值域為（0，8]；
②對任意的n∈N，都有f（2n）=23﹣n；
③存在k∈（ ， ），使得直線y=kx與函數y=f（x）的圖象有5個公共點；
④“函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在n∈N，使得（a，b）（2n ， 2n+1）”
其中正確命題的序號是（ ）
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①當1≤x＜2時，f（x）=﹣8x（x﹣2）=﹣8（x﹣1）2+8∈（0，8]， ②∵f（1）=8，
∴f（2n）= f（2n﹣1）= f（2n﹣2）= f（2n﹣3）=…= f（20）= f（1）= ×8=23﹣n ， 故②正確，
③當x≥2時，f（x）= f（ ）∈0，4]，故函數f（x）的值域為（0，8]；故①正確，
當2≤x＜4時，1≤ ＜2，則f（x）= f（ ）= [﹣8（ ﹣1）2+8]=﹣4（ ﹣1）2+4，
當4≤x＜8時，2≤ ＜4，則f（x）= f（ ）= [﹣4（ ﹣1）2+4]=﹣2（ ﹣1）2+2
作出函數f（x）的圖象如圖：
作出y= x和y= x的圖象如圖，

當k∈（ ， ），使得直線y=kx與函數y=f（x）的圖象有3個公共點；故③錯誤，
④由分段函數的表達式得當x∈（2n ， 2n+1）時，函數f（x）在（2n ， 2n+1）上為單調遞減函數，
則函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在n∈N，使得（a，b）（2n ， 2n+1）”為真命題．，故④正確，
故選：C
①根據分段函數的表達式結合函數的最值進行求解判斷，
②利用f（2n）= f（1）進行求解判斷，
③作出函數f（x）和y=kx的圖象，利用數形結合進行判斷，
④根據分段函數的單調性進行判斷．