Question

【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，直線l的參數方程為 (t為參數，α為直線的傾斜角)．

(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點，求角α的大小．

Answer 1

【答案】（1）當 時，直線l方程為x＝－1；當 時，直線l方程為

y＝(x＋1)tanα； x2＋y2＝2x （2）或.

【解析】

（1）對直線l的傾斜角分類討論，消去參數即可求出其普通方程；由，即可求出曲線C的直角坐標方程；

（2）將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，根據條件Δ＝0，即可求解.

(1)當時，直線l的普通方程為x＝－1；

當時，消去參數得

直線l的普通方程為y＝(x＋1)tan α.

由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，

所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標方程．

(2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，

整理得t2－4tcos α＋3＝0.

由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，

所以cos α＝或cos α＝，

故直線l的傾斜角α為或.