Question

【題目】如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥EF，AF＝AD＝2AB＝2DE＝2．

（1）求證：CE∥面ABF；

（2）求直線DE與平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）取AF中點記為G，連EG，證明EGBC為平行四邊形，得到CE∥BG，再用線面平行的判定定理證明即可.

（2））根據四邊形ABCD為矩形，得到 ，由平面ABCD⊥平面ADEF，得到平面ABCD，且 ，設點E到平面BDF的距離為h，由VB﹣DEF＝VE﹣BDF，求出，然后由求解．

（1）如圖所示：

取AF中點記為G，連EG，

∵，且，

又，且，

所以，且，

∴EGBC為平行四邊形，

∴CE∥BG，

又∵CE面ABF，BG面ABF，

∴CE∥面ABF；

（2）因為四邊形ABCD為矩形，

所以 ，又因為平面ABCD⊥平面ADEF，

所以平面ABCD， ，

設點E到平面BDF的距離為h，

因為VB﹣DEF＝VE﹣BDF，

所以，

因為AF∥DE，AF⊥EF，AF＝AD＝2AB＝2DE＝2．

所以，

所以，

又因為，

所以S△BDF＝ ，

解得，

設直線DE與平面BDF所成角為θ，

所以．