Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，和均為邊長為的等邊三角形.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

(1) 取的中點，連接，要證平面平面，轉證平面，即證， 即可；(2) 以為坐標原點，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，代入公式，即可得到結果.

（1）取的中點，連接，

因為均為邊長為的等邊三角形，

所以，，且

因為，所以，所以，

又因為，平面，平面，

所以平面.

又因為平面，所以平面平面.

（2）因為，為等邊三角形，

所以，又因為，所以，，

在中，由正弦定理，得：，所以.

以為坐標原點，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

設平面的法向量為，

則，即，

令，則平面的一個法向量為，

依題意，平面的一個法向量

所以

故二面角的余弦值為.