Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，右準線為.點是橢圓上異于長軸端點的任意一點，連接并延長交橢圓于點，線段的中點為，為坐標原點，且直線與右準線交于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求點的坐標；

（3）試確定直線與橢圓的公共點的個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）直線與橢圓有且僅有一個公共點，答案見解析.

【解析】

（1）由焦點坐標和準線方程及求出橢圓的方程；
（2）設,設過右焦點的直線的方程與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，由題意求的坐標，再由得到關系，再由進而求出的坐標；
（3）設出的坐標，由（2）可得直線的方程為，所以點坐標為，可得直線的方程，再與橢圓聯立，判別式等于0，即得，求出直線與橢圓僅有一個交點．

解：（1）由題意可知，解得，，

所以橢圓的標準方程為：

（2）設，

當時，點坐標為（3，0），點坐標為（4，0），.

當時，直線的方程為，代入橢圓方程，消去整理得

，

所以中點的橫坐標，

縱坐標.

因為，所以，

所以，

又，得，解得，或，

故點的坐標為或.

（3）直線與橢圓有且僅有一個公共點，以下給出證明：

因為直線的方程為，所以點坐標為，

所以直線的斜率，

直線的方程為，即，

代入橢圓方程，得，

即，得，解得，

故直線與橢圓有且僅有一個公共點.