Question

【題目】設、為雙曲線上的兩點，為線段的中點，線段的垂直平分線與雙曲線交于、兩點

（1）確定的取值范圍

（2）試判斷、、、四點是否共圓？并說明理由

Answer 1

【答案】(1) (2) 答案見解析.

【解析】

（1）依題意，可設

代入雙曲線方程并整理得：

①

設點，則、為方程①的兩個不同實根，于是，

②且，

又為線段的中點，因此，

，

故

將代入式②得：，

又為線段的垂直平分線，故：，

將上式代入雙曲線方程并整理得：③

由題意，知方程③也有兩個不同實根，

則，

又，故.

（2）設點，，線段的中點為，

則、為方程③的兩個根，

于是，，

故，，

從而，由弦長公式得：

，

又方程①即，

類似地，

顯然，，

又為線段的垂直平分線，

假設存在，使得、、、四點共圓則必為該圓的直徑其圓心為點，

又點到直線的距離為，

由勾股定理得：

，

又，則，

故當時，、、、四點均在以為圓心、為半徑的圓上.