Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正三角形，且，，，，M為AB中點．

（Ⅰ）證明：平面ADE；

（Ⅱ）求直線CA與平面BCDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取AE的中點F，連接MF、FD，只需證明四邊形MFDC為平行四邊形，因為點M為AB的中點，所以，且，則易證.

（Ⅱ）先證明平面ADE，作于，再證明平面CDEB，所以為直線CA與平面BCDE所成的角，利用，求出，則直線CA與平面BCDE所成角的正弦值可求．

（Ⅰ）證明：

取AE的中點F，連接MF，FD，

因為點M為AB的中點，

所以，且，

又因為且，

所以，，

所以四邊形MFDC為平行四邊形，所以，

又因為平面ADE，平面ADE，

所以平面ADE．

（Ⅱ）解：因為，，，

所以，所以，

又，，

所以平面ADE，

又平面CDEB，

所以平面平面CDEB，

作于，因為平面平面，

所以平面CDEB，連接CH，

所以為直線CA與平面BCDE所成的角．

因為平面ADE，所以，

在直角梯形BCDE中，作于，則四邊形為矩形，

則，，

因為，所以，

在直角三角形ACD中，，

又，

在中，

所以

所以，

所以，

所以直線CA與平面BCDE所成角的正弦值為．