【題目】已知無窮數列
的前
項中的最大項為
，最小項為
，設
（1）若
，求數列
的通項公式；
（2）若
，求數列的前項和
；
（3）若數列是等差數列，求證：數列是等差數列.
【答案】（1）
（2）
，當
時，
（3）證明見解析
【解析】
（1）根據數列為遞增數列得到答案.
（2）計算
，
時，數列單調遞減，故時，
，利用分組求和與錯位相減法計算得到答案.
（3）設數列
的公差為
，則
，討論
，
，
三種情況，分別證明等差數列得到答案.
（1）
是遞增數列，所以
，所以
.
（2）由
得
，
當
，即
；當
，即
又
，所以
，
當時，，
所以
，
令
，對應的前
項和為
，
則
，
，
兩式相減化簡整理得到：
，
當時，
.
綜上所述，，當時，
.
（3）設數列的公差為，則，
由題意
，
①
，對任意
都成立，即
，是遞增數列.
所以
，所以
，
所以是公差為的等差數列；
②當時，
對任意都成立，進而
，
所以是遞減數列.
，所以
所以是公差為的等差數列；
③當時，
，
因為
與
中至少有一個為0，所以二者都為0，進而為常數列，
綜上所述，數列等差數列.
名師點撥卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從
五所高校中任選2所．
（1）求甲、乙、丙三名同學都選
高校的概率；
（2）若已知甲同學特別喜歡
高校，他必選校，另在
四校中再隨機選1所；而同學乙和丙對五所高校沒有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機選2所．
（i）求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率；
（ii）記
為甲、乙、丙三名同學中選高校的人數，求隨機變量的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】P是圓
上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足
．
（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）過點
的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
(
為參數).以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；
（Ⅱ）已知點
設直線與曲線相交于
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
、點
及拋物線
.
（1）若直線
過點
及拋物線
上一點
，當
最大時求直線的方程；
（2）
軸上是否存在點
，使得過點的任一條直線與拋物線交于點
，且點到直線
的距離相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），將曲線上各點縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）得到曲線
，以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）寫出的極坐標方程與直線的直角坐標方程；
（2）曲線上是否存在不同的兩點
，
（以上兩點坐標均為極坐標，
，
），使點
、
到的距離都為3？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]
在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數，
），以坐標原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）設
是曲線上的一個動瞇，當
時，求點到直線的距離的最小值；
（2）若曲線上所有的點都在直線的右下方，求實數
的取值范圍.
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