Question

某同學用《幾何畫板》研究橢圓的性質：打開《幾何畫板》軟件，繪制某橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，在橢圓上任意畫一個點S，度量點S的坐標（x_s，y_s），如圖1．
（1）拖動點S，發現當x_s=

2

時，y_s=0；當x_s=0時，y_s=1，試求橢圓C₁的方程；
（2）該同學知圓具有性質：若E為圓O：x²+y²=r²（r＞0）的弦AB的中點，則直線AB的斜率k_AB與直線OE的斜率k_OE的乘積k_AB•k_OE為定值．該同學在橢圓上構造兩個不同的點A、B，并構造直線AB，再構造AB的中點E，經觀察得：沿著橢圓C₁，無論怎樣拖動點A、B，橢圓也具有此性質．類比圓的這個性質，請寫出橢圓C₁的類似性質，并加以證明；
（3）拖動點A、B的過程中，如圖2發現當點A與點B在C₁在第一象限中的同一點時，直線AB剛好為C₁的切線l，若l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，求三角形OCD面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中當x_s=

2

時，y_s=0；當x_s=0時，y_s=1，求得a，b的值，進而得到橢圓的方程．
（2）證法1：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分別代入橢圓方程后兩式相減，可得結論；
證法2：聯立直線AB：y=kx+b與橢圓C1：

x2

2

+y2=1的方程，用韋達定理可得結論；
（3）當點A無限趨近于點B時，割線AB的斜率就等于橢圓上的B的切線的斜率k，即k•kOB=-

1

2

，k=-

x2

2y2

，求出切線QB方程，進而可得三角形OCD面積的表達式，利用基本不等式可得答案．

解答：解：（1）∵當x_s=

2

時，y_s=0；當x_s=0時，y_s=1，
∴a=

2

，b=1
∴C1：

x2

2

+y2=1-------------------------------------------------------------（3分）
（2）若A，B為橢圓C1：

x2

2

+y2=1上相異的兩點，E（x₀，y₀）為A，B中點，
當直線AB的斜率k_AB與直線OE的斜率k_OE的乘積k_OE•k_AB必為定值；-----------（5分）
證法1：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12 2 +y12=1--(1) x22 2 +y22=1--(2)

（2）-（1）得：

(x2+x1)(x2-x1)

2

+(y2+y1)(y2-y1)=0，
∵僅考慮斜率存在的情況
∴x₀+2y₀•k_AB=0?kOE•kAB=-

1

2

---------------（9分）
證法2：設AB：y=kx+b與橢圓C1：

x2

2

+y2=1聯立得：（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，x1+x2=-

4kb

1+2k2

所以x0=-

2kb

1+2k2

⇒y0=

b

1+2k2

⇒kOE=

y0

x0

=-

1

2k

⇒kOE•kAB=-

1

2

-----（9分）
（3）當點A無限趨近于點B時，割線AB的斜率就等于橢圓上的B的切線的斜率k，
即k•kOB=-

1

2

，k=-

x2

2y2

所以點B處的切線QB：y-y2=-

x2

2y2

(x-x2)?

x2

2

x+y2y=1
令x=0，yD=

1

y2

，令y=0，xC=

2

x2

，
所以S△OCD=

1

x2•y2

又點B在橢圓的第一象限上，所以x2＞0，y2＞0，

x22

2

+y22=1
∴1=

x22

2

+y22≥2

x22 2 y22

=

2

x2y2
∴S△OCD=

1

x2•y2

≥

2

，當且僅當

x22

2

=y22?x2=

2

y2=1
所以當B(1，

2

2

)時，三角形OCD的面積的最小值為

2

（沒寫等號成立扣1分）---（14分）

點評：本題考查的知識點是橢圓的簡單性質，直線與圓錐曲線的關系，基本不等式，是一個綜合性強，運算量大的解析幾何綜合題，難度較大．