Question

【題目】已知函數g（x）= 是奇函數，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函數．
（1）求a+b的值．
（2）若對任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）= 是定義在R上的奇函數，

∴由g（0）=0得1﹣a=0，得a=1，

則g（x）= ，經檢驗g（x）是奇函數，

由f（﹣1）=f（1）得lg（10﹣1+1）﹣b=lg（10+1）+b，

即2b=lg（ × ）=lg（ ）=﹣1，

即b=﹣ ，則f（x）=lg（10x+1）﹣ x，經檢驗f（x）是偶函數

∴a+b=

（2）解：∵g（x）= =2x﹣ ，且g（x）在（﹣∞，+∞）單調遞增，且g（x）為奇函數．

∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，得

g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），

∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，在t∈[0，+∞）上恒成立

即3t2﹣2t＞k，在t∈[0，+∞）上恒成立

令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）的最小值為F（ ）=﹣

∴k＜

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義建立方程進行求解即可．（2）根據函數奇偶性和單調性的關系，將不等式進行轉化求解即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)，還要掌握函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)的相關知識才是答題的關鍵．