Question

【題目】已知矩形紙片中，，將矩形紙片的右下角沿線段折疊，使矩形的頂點B落在矩形的邊上，記該點為E，且折痕的兩端點M，N分別在邊上.設，的面積為S.

（1）將l表示成θ的函數，并確定θ的取值范圍；

（2）求l的最小值及此時的值；

（3）問當θ為何值時，的面積S取得最小值？并求出這個最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2），的最小值為.（3）時，面積取最小值為

【解析】

（1）,利用三角函數定義分別表示,且,即可得到關于的解析式；,,則,即可得到的范圍；

（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,設為,令,則,即可設,利用導函數判斷函數的單調性,即可求得的最大值,進而求解；

（3）由題,,則,設,,利用導函數求得的最大值,即可求得的最小值.

解:（1）,

故.

因為,所以，,

所以,

又,,則,所以,

所以

（2）記,

則,

設,,則,

記,則,

令,則,

當時,；當時,,

所以在上單調遞增,在上單調遞減,

故當時取最小值,此時,的最小值為.

（3）的面積,

所以,設,則,

設,則,令,,

所以當時,；當時,,

所以在上單調遞增,在上單調遞減,

故當,即時,面積取最小值為