Question

已知函數f（x）=x³-2x，其中a-1≤x≤a+1，a∈R，設集合M={（m，f（n））|m，n∈[a-1，a+1]|}，若f（x）單調遞增，則S的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先研究函數的性質，是奇函數且x＞

2 3

=

6

3

時，f（x）單調遞增．再將面積表達出來，進而可求出S的最小值．

解答：解：f（x）=x³-2x=x（x²-2）=0∴x=-

2

或0或

2

∵f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數．
?0＜x₁＜x₂f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-2）＞（x₁-x₂）（3x₁²-2）
當x＞

2 3

=

6

3

時，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）單調遞增．
由對稱性畫出草圖n∈[a-1，a+1]
∵1＜

2 6

3

＜2，
∴m∈[a-1，a+1]，f（n）為n∈[a-1，a+1]時的值域的長度d．要使f（n）的值域最小當a-1＜-

6

3

＜

6

3

＜a+1時f（n）的值域最小，則d=f(-

6

3

)-f(

6

3

)=

8

9

6

S=2d=

16

9

6

，
故答案為

16

9

6

．

點評：本題求解的關鍵是利用具體函數，研究出函數所具有的性質，進而研究面積S的最小值