Question

【題目】已知函數（）．

（Ⅰ）若，恒有成立，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若函數有兩個相異極值點， ，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）分離參數，構造函數，利用導數求出函數的最值即可，
（2）函數g（x）=f（x）-x有兩個極值點x1、x2，即導函數g′（x）有兩個不同的實數根x1、x2，對a進行分類討論，令，構造函數φ（t），利用函數φ（t）的單調性證明不等式．

試題解析：

（Ⅰ）由，恒有，即， 對任意成立，

記， ，

當， ， 單調遞增；

當， ， 單調遞減，

最大值為，

∴， ．

（Ⅱ）函數有兩個相異的極值點， ，

即有兩個不同的實數根．

①當時， 單調遞增， 不可能有兩個不同的實根；

②當時，設，則，

當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減，

∴，∴，

不妨設，∵，

∴， ， ，

先證，即證，

即證，

令，即證，設，

則，函數在單調遞減，

∴，∴，又，∴，

∴．