Question

【題目】如圖，平面平面，其中為矩形，為梯形，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若二面角的平面角的余弦值為，求的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）AB＝.

【解析】分析：(Ⅰ)由線面垂直的性質可得平面，從而得，結合，利用線面垂直的判定定理可得平面；（Ⅱ）設，以為原點，所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，平面ABF的法向量可取，利用向量垂直數量積為零列方程組求得平面的法向量)，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

詳解：(Ⅰ)平面平面,且為矩形，

平面，

又平面, ，

又且

平面.源:Z+xx+k.Com]

(Ⅱ)設AB＝x．以F為原點，AF，FE所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系．則F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(0，，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因為EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

設＝(x1，y1，z1)為平面BFD的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．

因為cos<，>＝＝，得x＝，所以AB＝．