Question

【題目】已知圓的圓心在原點(diǎn)，半徑為，若圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為的正方形（記為）設(shè)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，以點(diǎn)、和點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形的面積為.

（1）求圓的半徑及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)圓的方程為:, ,;(2)

【解析】

(1)由圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為,求得,即可求得圓的方程

設(shè)點(diǎn)由,,以點(diǎn)、和點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為,即可得出到直線的距離為.即可求得.

（2）設(shè)出直線的方程,將直線的方程與圓方程聯(lián)立，利用二次方程的韋達(dá)定理得到弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，得到中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的不等關(guān)系，求出的范圍.

(1)圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為

,圓的方程為:.

設(shè)點(diǎn)，,,以點(diǎn)、和點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為,得出到直線的距離為.則,求得(舍)或,.

所以:圓的方程為:, ,.

(2)

如圖，設(shè)的坐標(biāo)分別為，,線段的中點(diǎn)為，由得:,

由

解得：.

因?yàn)?/span>,,,

因?yàn)?/span>,所以不可能在軸右邊,又直線，,當(dāng)落在正方形內(nèi)（包括邊界）時(shí),則有，

即化簡(jiǎn)得：,

解得:.

直線的斜率的取值范圍