Question

【題目】某客戶準備在家中安裝一套凈水系統，該系統為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯安裝，再與一級過濾器串聯安裝.

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現需決策安裝凈水系統的同時購買濾芯的數量，為此參考了根據100套該款凈水系統在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中表1是根據100個一級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表，圖2是根據200個二級過濾器更換的濾芯個數制成的條形圖.

表1：一級濾芯更換頻數分布表

一級濾芯更換的個數	8	9
頻數	60	40

圖2：二級濾芯更換頻數條形圖

以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發生的概率.

（1）求一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16的概率；

（2）記表示該客戶的凈水系統在使用期內需要更換的二級濾芯總數，求的分布列及數學期望；

（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數.若，且，以該客戶的凈水系統在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定的值.

Answer 1

【答案】（1）0.024；（2）分布列見解析，；（3）

【解析】

（1）由題意可知，若一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16，則該套凈水系統中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，而由一級濾芯更換頻數分布表和二級濾芯更換頻數條形圖可知，一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，再由乘法原理可求出概率；

（2）由二級濾芯更換頻數條形圖可知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，而的可能取值為8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及數學期望；

（3）由，且，可知若，則，或若，則，再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.

（1）由題意知，若一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16，則該套凈水系統中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，設“一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16”為事件，

因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，所以.

（2）由柱狀圖知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，由題意的可能取值為8，9，10，11，12，

從而，

，

.

所以的分布列為

	8	9	10	11	12
	0.04	0.16	0.32	0.32	0.16

（個）.

或用分數表示也可以為

	8	9	10	11	12

（個）.

（3）解法一：記表示該客戶的凈水系統在使用期內購買各級濾芯所需總費用（單位：元）

因為，且，

1°若，則，

（元）；

2°若，則，

（元）.

因為，故選擇方案：.

解法二：記分別表示該客戶的凈水系統在使用期內購買一級濾芯和二級濾芯所需費用（單位：元）

1°若，則，

的分布列為

	1280	1680
	0.6	0.4
	880	1080
	0.84	0.16

該客戶的凈水系統在使用期內購買的各級濾芯所需總費用為（元）；

2°若，則，

的分布列為

	800	1000	1200
	0.52	0.32	0.16

（元）.

因為

所以選擇方案：.