Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）判斷并說明函數的零點個數.若函數所有零點均在區間內，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）存在兩個零點，且，；最小值為3.

【解析】

（1）直接求導即可；

（2），為判斷出符號，分成3段處理：第一段，第二段，第三段，第四段分別研究.

解:的定義域為

令得 (舍).當時，，

當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

因此，函數的單調增區間為，單調減區間為

，

當時，，所以，在上單調遞增，又，

，所以存在唯一，使得.

當時，， 所以

單調遞減，又，所以，在上單調遞

增，因為，所以，故不存在零點；當時，

，，所以單調遞減，

又，所以存在，使得.

當時，單調遞增，當時，單調

遞減，又，，

，所以存在唯一，使得.

當時，，故不存在零點.

綜上，存在兩個零點，且，

因此的最小值為.