Question

【題目】已知點，且，滿足條件的點的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）是否存在過點的直線，直線與曲線相交于兩點，直線與軸分別交于兩點，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在， 或．

【解析】

（1）由得看成到兩定點的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線的方程.

（2）先討論斜率不存在情況是否符合題意，當直線的斜率存在時，設直線點斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯解，利用根的判別式得到關于的一元二次方程求解.

解：設，

由， ，

可得，即為，

由，可得的軌跡是以為焦點，且的橢圓，

由，可得，可得曲線的方程為；

假設存在過點的直線l符合題意．

當直線的斜率不存在，設方程為，可得為短軸的兩個端點，

不成立；

當直線的斜率存在時，設方程為，

由，可得，即，

可得，化為，

由可得，

由在橢圓內，可得直線與橢圓相交，

，

則

化為，即為，解得，

所以存在直線符合題意，且方程為或．