Question

【題目】已知函數，，，三個函數的定義域均為集合．

（1）若，試判斷集合與的關系，并說明理由；

（2）記，是否存在，使得對任意的實數，函數有且僅有兩個零點？若存在，求出滿足條件的最小正整數；若不存在，說明理由．（以下數據供參考：，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1），利用導數工具得

；（2）令，．利用導數工具和零點存在性定理可知： ，，由于，，，，由零點存在性定理可知：，函數在定義域內有且僅有一個零點．，函數在定義域內有且僅有一個零點．假設存在使得，

，令，利用導數工具可得．

試題解析：（1），．

易知在上遞減，∴．

存在，使得，函數在遞增，在遞減，．

由得，

，

∴，．

（2）令，．

①，，由于，，，，由零點存在性定理可知：

，函數在定義域內有且僅有一個零點．

②，，，，，

同理可知：

，函數在定義域內有且僅有一個零點．

③假設存在使得，

消得，

令，，

∴遞增．∵，，

∴，

此時，

所以滿足條件的最小整數．