Question

【題目】如圖1，在直角梯形中，E，F分別為的三等分點，，，，，若沿著，折疊使得點A和點B重合，如圖2所示，連結，.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取的中點分別為，連結，由已知為等邊三角形，可得，平面，有，進而證明平面，再證明四邊形為平行四邊形，得到，所以有平面即可；

（2）以為坐標原點，建立如下圖坐標系，求出坐標，分別求出平面和

平面的法向量，按空間向量二面角公式，即可求解.

（1）取，的中點分別為O，M，連結，，.

且，又因為且，

所以且，

故四邊形為平行四邊形，故.

因為M為中點，三角形為等邊三角形，故，

因為平面平面，所以，

因為，所以平面，

因此平面，平面，

故平面平面；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

則，，，

設平面的法向量為，則

，即，

令得；

設平面的法向量為，

則，

即，

令，得.

.

故二面角的余弦值為.