Question

【題目】已知為實數，用表示不超過的最大整數，例如，，，對于函數，若存在，，使得，則稱函數是“函數”.

（1）判斷函數，是否是“函數”；

（2）設函數是定義在上的周期函數，其最小正周期是，若不是“函數”，求的最小值；

（3）若函數是“函數”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）1；（3），且，.

【解析】

（1）舉例說明函數是函數，證明函數不是“函數”；

（2）假設，得到矛盾，再證明得證；

（3）對分三種情況討論得解.

（1）對于函數是函數，設，

則，，

所以存在，，使得，所以函數是“函數”.

對于函數，函數的最小正周期為,函數的圖象如圖所示，

不妨研究函數在[0,1]這個周期的圖象.

設，,則,

所以，

所以函數不是“函數”.

綜合得函數是“函數”，函數不是“函數”.

（2）的最小值為1．

因為是以為最小正周期的周期函數，所以．

假設，則，所以，矛盾．

所以必有.

而函數的周期為1，且顯然不是函數，

綜上所述，的最小值為1．

（3）當函數是“函數”時，

若，則顯然不是函數，矛盾．

若，則，

所以在，上單調遞增，

此時不存在，使得，

同理不存在，使得，

又注意到，即不會出現的情形，

所以此時不是函數．

當時，設，所以，

所以有，其中，

當時，

因為，所以，

所以，

當時，，

因為，所以，

所以，

綜上所述，，且，.