Question

已知圓C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的兩條直線l₁、l₂都過點A（a，0）．
（Ⅰ）若l₁、l₂都和圓C相切，求直線l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）當a=2時，若圓心為M（1，m）的圓和圓C外切且與直線l₁、l₂都相切，求圓M的方程；
（Ⅲ）當a=-1時，求l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據題意得l₁，l₂的斜率都存在，設l1：y=k(x-a)，則l2：y=-

1

k

(x-a)，則

|2k+ak k2+1 =2 |2+a k2+1 =2

，由此能夠求出直線l₁、l₂的方程．
（Ⅱ）設圓的半徑為r，則

(1-2)2+m2=2r2 (1+2)2+m2=(2+r)2

解得

r=2 m=± 7

，由此能得到所求圓M的方程．
（Ⅲ）當a=-1時，l₁、l₂被圓C所截得弦的中點分別是E、F，當a=-1時，l₁、l₂被圓C所截得弦長分別是d₁、d₂；圓心為B，則AEBF為矩形，所以BE²+BF²=AB²=1，由此能夠求出l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值．

解答：解：（1）根據題意得l₁，l₂的斜率都存在，設l1：y=k(x-a)，則l2：y=-

1

k

(x-a)（1分）
則

|2k+ak k2+1 =2 |2+a k2+1 =2

k=±1，a=-2±2

2

∴l1，l2的方程分別是l1：y=x-2 2 +2與l2：y=-x-2 2 +2； 或l1：y=x+2 2 +2與l2：y=-x+2 2 +2

（6分）
（Ⅱ）設圓的半徑為r，則

(1-2)2+m2=2r2 (1+2)2+m2=(2+r)2

解得

r=2 m=± 7

，
所以所求圓M的方程為(x-1)2+(y±

7

)2=4（11分）
（Ⅲ）當a=-1時，l₁、l₂被圓C所截得弦的中點分別是E、F，當a=-1時，l₁、l₂被圓C所截得弦長分別是d₁、d₂；圓心為B，則AEBF為矩形，
所以BE²+BF²=AB²=1，即(4-(

d1

2

)2)+(4-(

d2

2

)2)=1∴d₁²+d₂²=28，（14分）
所以d1+d2≤

2

d 2 1 + d 2 2

=2

14

即l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值2

14

（16分）

點評：本題考查直線和圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理選用．