Question

【題目】已知圓，點，為平面內一動點，以線段為直徑的圓內切于圓，設動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的標準方程；

（2）已知過坐標原點的直線交曲線于、兩點，若在曲線上存在點，使得，求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設的中點為，切點為，連、，則，推出點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，然后求解曲線方程；

（2）由橢圓的對稱性知坐標原點為線段的中點，結合可知，然后分直線與坐標軸重合與直線的斜率不為零兩種情況討論，在第一種情況下求出的面積，在第二種情況下，設直線的方程為，可得出直線的方程為，求出的面積關于的關系式，利用基本不等式可求得面積的最小值，比較大小后可得出結論.

（1）設的中點為，切點為，連、，則，

取關于軸的對稱點，連，故．

所以點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓．

其中，，，則，因此，曲線的標準方程為；

（2）過坐標原點的直線交曲線于、兩點，則坐標原點為線段的中點，

，則.

①若直線與坐標軸重合，則的面積為；

②若直線的斜率不為零，設直線的方程為，

聯立，可得，所以，，

同理可得，

此時，的面積為，當且僅當時，等號成立，

，因此，的面積的最小值為.