Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+|x﹣a|．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）試討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）見(jiàn)解析．

【解析】

試題（1）將f（x）化簡(jiǎn)成分段函數(shù)，討論f（x）的單調(diào)性，求出最小值；

（2）將f（x）化簡(jiǎn)成分段函數(shù)，對(duì)a進(jìn)行討論，得出結(jié)論．

解：（1）a=1時(shí)，f（x）=，

∴f（x）在（﹣∞，）上是減函數(shù)，在[，1）上是增函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．

∴fmin（x）=f（）=．

（2）f（x）=，

①若a＞0，當(dāng)x≥a時(shí)，﹣x≤﹣a＜0，

f（x）=x2+x﹣a，f（﹣x）=x2+x+a，∴f（﹣x）≠±f（x）．

∴f（x）為非奇非偶函數(shù)．

②若a＜0，當(dāng)x＜a時(shí)，﹣x＞﹣a＞0，

f（x）=x2﹣x+a，f（﹣x）=x2﹣x﹣a，∴f（﹣x）≠±f（x）．

∴f（x）為非奇非偶函數(shù)．

③若a=0，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2+x，f（﹣x）=x2+x，∴f（x）=f（﹣x），

當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=x2﹣x，∴f（x）=f（﹣x）．

∴f（x）是偶函數(shù)．

綜上，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)，

當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．