Question

將集合M={1，2，…12}的元素分成不相交的三個子集：M=A∪B∪C，其中A={a₁，a₂，a₃，a₄}B={b₁，b₂，b₃，b₄}C={c₁，c₂，c₃，c₄}，c₁＜c₂＜c₃＜c₄，且a_k+b_k=c_k，k=1，2，3，4，則集合C為：

{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}

．

Answer 1

分析：由

4

i=1

ci=

4

i=1

ai+

4

i=1

bi，得2

4

i=1

ci=

4

i=1

ai+

4

i=1

bi+

4

i=1

ci=1+2+…+12=78，所以

4

i=1

ci=39，由此入手能夠求出集合C．

解答：解：由

4

i=1

ci=

4

i=1

ai+

4

i=1

bi，
得2

4

i=1

ci=

4

i=1

ai+

4

i=1

bi+

4

i=1

ci=1+2+…+12=78，
所以

4

i=1

ci=39，
先不考慮搭配情況，設c₁＜c₂＜c₃＜c₄，則c₄=12，c₁+c₂+c₃=27，
故3c₃＞27，10≤c₃≤11，且c₂≤9；
若c₃=10，則c₁+c₂=17，c₂≥9，所以c₂=9，c₁=8；
于是C={8，9，10，12}；
若c₃=11，則c₁+c₂=16，c₂≤10，得c₂＞8，
故c₂只能取9或10，c₁只能取7與6；
分別得C={7，9，11，12}，C={6，10，11，12}；
另一方面，三種情況都對應有相應的子集A和B，例如以下的表：

因此子集C的三種情況都合條件．
故答案為：：{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}．

點評：本題考查集合的交、并、補的混合運算，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．