Question

【題目】在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設(shè)，∠，∠，將沿折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐，且使=.

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)O，連接，證得，從而證得C′O⊥平面ABD，再結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面⊥平面；

（2）以O為原點(diǎn)，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

(1)取AB的中點(diǎn)O，連接，，

在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，則=DO=1，

又C′D= ，所以，即⊥OD，

又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，

又C′O平面，所以平面⊥平面DAB

（2）以O為原點(diǎn)，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)， ，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為=()，

則， 即，代入坐標(biāo)得，

令，得，，所以，

設(shè)平面的法向量為=（），

則， 即， 代入坐標(biāo)得，

令，得，，所以，

所以，

所以二面角A-C′D-B的余弦值為.