Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，傾斜角為α（α≠ ）的直線l的參數方程為 （t為參數）．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．
（I）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知點P（1，0）．若點M的極坐標為（1， ），直線l經過點M且與曲線C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為Q，求|PQ|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直線l的參數方程為 （t為參數）． ∴直線l的普通方程為y=tanα（x﹣1），
由曲線C的極坐標方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，
∴x2﹣4y=0，
∴曲線C的直角坐標方程為x2=4y．
（Ⅱ）∵點M的極坐標為（1， ），∴點M的直角坐標為（0，1），
∴tanα=﹣1，直線l的傾斜角為 ，
∴直線l的參數方程為 ，
代入x2=4y，得 ，
設A，B兩點對應的參數為t1 ， t2 ，
∵Q為線段AB的中點，
∴點Q對應的參數值為 ，
又P（1，0），則|PQ|=| |=3 ．
【解析】（Ⅰ）直線l的參數方程消去參數t，能求出直線l的普通方程；由曲線C的極坐標方程能求出曲線C的直角坐標方程．（Ⅱ）求出點M的直角坐標為（0，1），從而直線l的傾斜角為 ，由此能求出直線l的參數方程，代入x2=4y，得 ，由此利用韋達定理和兩點間距離公式能求出|PQ|．