Question

已知奇函數f(x)在（-∞,0）∪（0，+∞）上有意義，且在（0，+∞）上是增函數，f(1)=0.又有函數g(θ)=sin²θ+mcosθ-2m(θ∈［0,］).若集合M={m|g(θ)＜0},集合N={m|f［g(θ)］＜0},

（1）求f(x)＜0的解集；

（2）求M∩N.

Answer 1

解析：（1）∵奇函數f(1)=0,

∴f(-1)=-f(1)=0.

又f(x)在（0，+∞）上是增函數，

∴f(x)在（-∞，0）上也是增函數.

∴f(x)＜0的解集為{x|x＜-1或0＜x＜1}.

(2)∵N={m|f［g(θ)］＜0},

由（1）得N={m|g(θ)＜-1或0＜g（θ）＜1}.

又M={m|g(θ)＜0},∴M∩N={m｜g(θ)＜-1}.

∴sin²θ+mcosθ-2m＜-1.

∴(2-cosθ)m＞2-cos²θ.

∴m＞=cosθ-2++4.

∵θ∈［0,］,∴cosθ-2∈［-2,-1］.

∴cosθ-2+≤-2,

且cosθ=2-時“=”成立.

∴cosθ-2++4≤4-2.

∴m＞4-2.∴M∩N={m｜m＞4-2}.