Question

【題目】已知函數.

（1）若是的導函數，討論的單調性；

（2）若（是自然對數的底數），求證：.

Answer 1

【答案】（1）①當時，在上是增函數；②當時，在上是增函數；在上是減函數。（2）證明見解析。

【解析】

（1）求出，得，然后求出導函數，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數g增區間，g求得的范圍，可得函數g的減區間；（2）因為，令，再次求導可證明在區間上有唯一零點，在區間上，是減函數，在區間上，是增函數，故當時，取得最小值，只需證明即可.

（1）因為，所以，

，

①當時，，在上是增函數；

②當時，由得，

所以在上是增函數；在上是減函數；

（2）因為，令，則，

因為，所以，

即在是增函數，

下面證明在區間上有唯一零點，

因為，，

又因為，所以，，

由零點存在定理可知，在區間上有唯一零點，

在區間上，，是減函數，

在區間上，，是增函數，

故當時，取得最小值，

因為，所以，

所以 ，

因為，所以，

所以，.