Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)，證明：對任意，.

Answer 1

（Ⅰ）分類討論得到單調(diào)性      （Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)用導數(shù)的方法證明.      

試題分析：(Ⅰ) f(x)的定義域為(0,+)，  
當a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；
當a≤－1時，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；
當－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當x∈(0, )時, ＞0；
x∈(，+)時，＜0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少   
(Ⅱ)不妨設(shè)x₁≥x₂.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.
所以等價于≥4x₁－4x₂,
即f(x₂)+ 4x₂≥f(x₁)+ 4x₁.         
令g(x)=f(x)+4x,則+4＝.               
于是≤＝≤0.
從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x₁) ≤g(x₂)，即　f(x₁)+ 4x₁≤f(x₂)+ 4x₂，
故對任意x₁,x₂∈(0,+) ，.
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值問題，考查分類討論思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，屬難題．