Question

已知函數，且函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，又g（1）=0，f（）=2-
（1）求f（x）的表達式及值域；
（2）問是否存在實數m，使得命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：滿足復合命題p且q為真命題？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數表達式的求解主要根據函數性質，如此題中f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱；求值域應先判斷函數單調性，再求解
（2）復合命題p且q為真命題即p，q均為真命題，利用函數的單調性以及反函數的性質，求出兩個命題不等式的解集即可求出結果．
解答：解：（1）因為函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，g（1）=0，則f（0）=1即b=1，
又由f（）=，得+2=2，可得a=-1，故f（x）的表達式為f（x）=（x≥0）
f（x）==在定義域[0，+∞）上單調遞減，f（0）=1，又因為f（x）＞0，所以f（x）的值域為（0，1]
（2）復合命題p且q為真命題即要求p，q均為真命題．
命題p：∵f（x）在定義域[0，+∞）上單調遞減，
故命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）為真命題?m²-m＞3m-4≥0?m且m≠2；
命題q：g（），因為函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，所以兩個函數互為反函數，具有相同的單調性，所以f（）==，所以，即m．
p，q均為真命題時m的范圍是．
點評：本題考查函數與方程的綜合應用，涉及函數的單調性、反函數、分式不等式的解法、命題的真假判斷等知識，考查分析問題解決問題的能力．