Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若直線與橢圓E相交于A，B兩點，設P為橢圓E上一動點，且滿足（O為坐標原點）.當時，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由離心率及四邊形的面積和a，b，c之間的關系求出橢圓的方程；

（2）將直線與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，，可得.進而寫出P的坐標，P在橢圓上求出m的范圍，進而求出的表達式，由反比例函數的單調性求出它的最小值.

解：（1）依題意得，.以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為，則，解得，.

所以橢圓E的方程為.

（2）設A，B兩點的坐標分別為，

聯立方程得，，

，，

因為，即，所以.

所以點，又點P在橢圓C上，所以有，

化簡得，

所以，化簡，因為，所以，

因為，

又，，所以.

令，則，

當時，取得最小值，最小值為.